Bidang-bidang matematika

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

[sunting] Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

Bilangan asli	Bilangan bulat	Bilangan rasional	Bilangan real	Bilangan kompleks

[sunting] Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Geometri	Trigonometri	Geometri diferensial	Topologi	Geometri fraktal

[sunting] Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Kalkulus	Kalkulus vektor	Persamaan diferensial	Sistem dinamika	Teori chaos

[sunting] Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.

Teori bilangan	Aljabar abstrak	Teori grup	Teori orde

[sunting] Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.^[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

Logika matematika	Teori himpunan	Teori kategori

[sunting] Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.^[29]

Kombinatorika	Teori komputasi	Kriptografi	Teori graf

[sunting] Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Fisika matematika	Mekanika fluida	Analisis numerik	Optimisasi
Teori peluang	Statistika	Matematika keuangan	Teori permainan
Biologi matematika	Kimia matematika	Ekonomi matematika	Teori kontrol

Matematika sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".^[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."^[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.^[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."^[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.^[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),^[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
Sumber : Wikipedia.com

Sejarah Matematika

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi pertama, yang dibagi oleh banyak binatang^[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara cacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (pertambahan, perkurangan, perkalian, dan perbagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sebelum zaman modern dan pengetahuan mendunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir yaitu Lembaran Matematika Rhind (1650 SM). Peradaban Lembah Indus mengembangkan sistem desimal modern, termasuk konsep nol. Tulisan matematika terkuno lainnya yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM). Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.
Dari permulaan sejarah tercatat, disiplin-disiplin utama di dalam matematika muncul karena kebutuhan perhitungan yang berkaitan dengan pajak dan dagang, untuk memahami keterkatitan antarbilangan, untuk pengukuran tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Kebutuhan ini secara garis besar dapat dikaitkan dengan cabang-cabang besar matematika yang mengkaji besaran, struktur, ruang, dan perubahan.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Buletin Masyarakat Matematika Amerika, “Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis dataMathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya.”^[11]
Sumber : wikipedia.com

Sistem Bilangan dalam Matematika

Keterangan:

–>Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah sekumpulan bilangan imajiner dan bilangan real. Bilangan tersebut adalah:

*

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner merupakan bilangan akar pangkat negatif. Bilangan itu adalah

Bilangan Real

Bilangan real adalah sekumpulan bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan itu adalah:

* 2 – log 5

*

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

* log 2 = 0,301029995…

* e = 2,718281828…

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. Bilangan tersebut adalah:

*

*

§ Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan Bulat

Bilangan bulat di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1

Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah semua bilangan asli dan nol. Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, ….

Bilangan Nol

Bilangan nol adalah nol (0) itu sendiri.

Bilangan Asli

Bilangan asli di mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua. Bilangan tersebut adalah 2, 4, 6, 8, ….

Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, ….

Demikianlah macam-macam bilangan yang ada pada sistem bilangan.

Semoga bermanfaat !! ^_^

Kunci ( key ) Diagram Entity-Relationship

Kunci (Key)

Kunci atau key merupakan satu atau gabungan dari beberapa atribut yang dapat membedakan semua baris data dengan unik.
Jika suatu atribut menjadi kunci, maka tidak boleh ada dua atau lebih baris data dengan nilai yang sama. Macam-macam kunci (key) adalah :

• Super Key

Super key, merupakan suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih atribut yang dapat membedakan setiap baris data dengan unik dalam sebuah tabel.
Contoh (NIM, nama_mhs, alamat_mhs, tgl_lahir), (NIM, nama_mhs, alamat_mhs), (NIM, nama_mhs), (nama_mhs), (NIM).

• Candidate Key

Candidate-key, merupakan himpunan atribut minimal yang dapat membedakan setiap baris data dengan unik dalam sebuah tabel.
Contoh adalah (NIM), (nama_mhs).

• Primary Key

Primary key, merupakan kunci yang paling unik, lebih ringkas, lebih sering dijadikan acuan.
Primary key dapat dipilih dari salah satu dari candidate key. Contoh primary key adalah (NIM).

Diagram Entity-Relationship (Diagram E-R)

Suatu database, dapat digambarkan secara grafik dengan suatu diagram E-R.

Notasi E-R

• Persegi panjang, menggambarkan himpunan entitas.
• Elips, menggambarkan atribut-atribut (atribut yang berfungsi sebagai kunci digarisbawahi).
• Belah ketupat, menggambarkan himpunan relationship.
• Garis, menggambarkan hubungan atribut ke entitas dan himpunan entitas ke himpunan relationship.
• Kardinalitas relasi dapat digambarkan dengan banyaknya garis cabang atau dengan pemakaian angka, 1 untuk relasi satu, n untuk relasi banyak.
  

Tahapan Pembuatan Diagram E-R

• Mengidentifikasi dan menetapkan seluruh himpunan entitas yang akan terlibat 
• Menentukan atribut – atribut key dari masing-masing himpunan entitas  
• Mengidentifikasi dan menetapkan seluruh himpunan relasi diantara himpunan entitas yang ada beserta foreign key 
• Menentukan derajat kardinalitas untuk setiap himpunan relasi  
• Melengkapi himpunan entitas dan himpunan relasi dengan atribut deskriftif (non key)

Diagram E-R

Contoh, relasi antara himpunan entitas Mahasiswa dengan himpunan Mata Kuliah. Himpunan relasinya disebut dengan “Belajar”.
Pada relasi ini, seorang mahasiwa bisa mengambil lebih dari satu mata kuliah. Setiap mata kuliah dapat diambil lebih dari satu mahasiswa.

Himpunan Entitas Lemah (Weak Entity Set)

• Himpunan entitas yang tidak memiliki atribut yang dapat berfungsi sebagai primary key. 
• Himpunan entitas lemah berisi entitas-entitas yang kemunculannya tergantung pada keberadaannya dalam sebuah relasi terhadap entitas lain (entitas kuat).  
• Sebagai contoh, pada tabel data Mahasiswa, dapat dilengkapi dengan entitas baru, yaitu hobi.
  

Data hobi dapat dikategorikan sebagai himpunan entitas lemah (digambarkan dengan kotak ganda), karena keberadaannya bergantung pada adanya relasi dengan entitas yang ada pada himpunan entitas mahasiswa.

Spesialisasi dan Generalisasi

• Suatu himpunan entitas mungkin mempunyai sub kelompok entitas yang berbeda dari entitas yang lain pada himpunan entitas tersebut. 
• Suatu sub himpunan yang berada dalam himpunan entitas mungkin mempunyai atribut yang tidak dimiliki oleh semua entitas dalam himpunan entitas tersebut.  
• Himpunan entitas dosen dapat dibagi menjadi dua, yaitu dosen tetap dan dosen tidak tetap. Himpunan entitas dosen, bisa memiliki atribut nip, golongan, pangkat, tgl_masuk.   
• Sedangkan untuk dosen tidak tetap, atribut-atribut tersebut tidak diperlukan.  
• Adanya perbedaan tersebut menyebabkan entitas dosen tidak mungkin disatukan dalam sebuah himpunan entitas.  
• Dari suatu himpunan entitas, dapat dilakukan pengelompokan yang dapat membentuk suatu himpunan entitas baru atau proses top down disebut dengan proses spesialisasi

Kebalikan dari spesialisasi adalah generalisasi, yaitu proses bottom up.

Agregasi 

 
Satu keterbatasan dari model E-R adalah tidak mungkin untuk mengekspresikan suatu himpunan relasi yang secara langsung menghubungkan sebuah himpunan entitas dengan sebuah
himpunan relasi. Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan suatu notasi khusus yang dinamakan dengan agregasi.

• Contoh, relasi antara himpunan entitas mahasiswa dengan himpunan entitas mata kuliah. Terdapat beberapa mata kuliah yang mengandung kegiatan praktikum. Himpunan relasi “Kegiatan” dalam diagram ER berikut ini menunjukkan entitas mahasiswa yang mengikuti kegiatan praktikum, karena sedang mengambil mata kuliah yang ada praktikumnya